【Adrian Chu】數學的浪漫 — 第一篇

引言

根據牛津英語字典，「romance」一詞未必指向愛情。它亦可解作：

a feeling or sense of wonder, mystery, and remoteness from everyday life （譯：驚奇的、神秘的、和遠離日常生活的感覺）

以下，我想向你呈現數學在這種意義上的浪漫。

這任務無疑十分艱難，因為大眾通常認為數學枯橾乏味、艱澀難懂。而這印象，多半基於學生時代對數學功課和考試的痛苦回憶。數學和浪漫，看似風馬牛不相及。

但奇怪是縱觀世界各地，在大學裡總有一批數學系教授和學生，全心全意投入數學。他們之所以如此，絕非為賺錢，而是由衷覺得數學很有趣、很美。數學的魅力簡直無遠弗屆。

不同人對數學的觀感為何會有如此落差？部分原因，是天分：天分高者，從小對數學駕輕就熟，自然容易樂在其中。求學時的經歷，或許也有關：有些人幸得良師指點，因而熱衷數學。然而，我認為有一個更主要的外在因素：就是對於「甚麼是數學」的認知。

單刀直入，如果你至今接觸數學的渠道只限於傳統的數學課，那請先拋棄對數學的固有印象。中小學所教的，絕大多只是「計算」。解方程式、計面積體積、排列組合、或 sin cos tan 之類，盡是計算。但事實上，計算只是數學世界一個極狹窄的側面。所以大部分人所接受的數學教育只有如坐井觀天。再者，計算的步驟複雜繁瑣，題目又丟鑽，覺得枯燥乏味實在是人之常情。

假如你向來對數學心存芥蒂，希望以上解釋能令你稍為放開戒備。

好，既然「計算」不算數，那究竟甚麼是真正數學？這問題浩瀚無垠，不易解釋，需慢慢來。本文分為甲乙丙三大部分：

• 甲部簡述數學的範疇，勾畫出粗略框架。
• 乙部正文，細分第 1 至 5 部份，天南地北地寫數學，為你逐漸建構對「真正數學」的印象。而每一部分，將各圍繞一點數學的浪漫。
• 丙部總結

正式開始前還需補充三點。

第一，本文目標對象是一般大眾，所以預備知識方面，你僅需具備自中學時期殘留對數學的依稀印象。然而正因如此，對於熟悉數學的同道中人，本文囉囉嗦嗦所言皆是老生常談，或是大家心照不宣對數學的普遍描述；請勿見怪。

第二，本文將較為客觀地談數學的浪漫。讀畢後你是否喜歡數學，還要視乎各人口味，因為「喜歡」是主觀的。正如李白的詩是狂放，畢加索的畫是抽象，都是客觀描述。你喜不喜歡，則適隨尊便。

第三，筆者僅是一名正修讀數學的博士生，對數學的領會定然未算十分深刻。我只能盡力而為，寫下這刻我對數學的理解和感受。

甲、數學的各範疇

首先簡介數學的各範疇。

數論 (Number theory)：始於過二千年前，是最古老的數學分支之一，起源於研究數目字（即 1, 2, 3, 4, 5, … ）的特質。我們從小學開始學的：公因數、最小公倍數、整除性、質數等，皆屬於數論。

幾何 (Geometry)：始於過二千年前，同樣是最古老的分支之一，起源於研究圖形、立體、長度面積體積。畢氏定理、三角函數 sin cos tan、圓周率 π 等，皆屬幾何學。

代數 (Algebra)：始於過二千年前，同樣是古老。最初是圍繞解方程式。我們中學所接觸的方程組
x + y = 17
2x – y = 7
或二次方程 z² – 10z + 24 = 0 等，皆屬於代數領域。

分析 (Analysis)：始於十七世紀，其起源是牛頓創造微積分。而往後在十八、十九世紀，數學家逐漸將「無限」、「極限」等概念嚴格地定義，並為牛頓的微積分補上堅實的理論基礎。

集合論和邏輯 (Set theory and logic)：始於十九世紀。現代數學以其嚴謹的邏輯著稱，因此邏輯學可謂數學的基石。而最基礎的邏輯學其實始於常識。

拓撲 (Topology)：始於十九世紀。大眾對這個比較陌生。其中一類易懂的拓撲學問題是將繩結（knot）分類。例如問：以下兩個繩結是否一樣？即是問，可否不剪斷繩子，而將第一個結變成第二個結？（答案：否）

其他：現代數學的分支繁多，難以簡單地全面分類。不在上列的還有組合論 (combinatorics)、圖論 (graph theory)、概率論 (probability theory)、博弈論(game theory) 等等。

以上只是非常模糊的分類，實際上不同的數學範疇之間充滿錯縱複雜的關連，沒有清晰邊界。例如，我們有代數拓撲 (algebraic topology)、微分幾何 (differential geometry) 、幾何分析 (geometric analysis) 等跨領域的分支。

乙、正文

我將分以下五部分談數學。

1. 跨越時空，歷久常新：數學的真確性 （＊）
2. 千年巨業：數學知識的存在形式（＊＊）
3. 孤高獨立：數學之抽象（＊＊＊）
4. 宇宙的語言：數學的應用（＊）
5. 渾然天成，深不見底：數學之邏輯性（＊＊＊）

＊號愈多，內容愈難。而在每一部分，我也將扣緊文題「數學的浪漫」。記得，你所預期的浪漫應是 「a feeling or sense of wonder, mystery, and remoteness from everyday life」。

1. 跨越時空，歷久常新：數學的真確性

1.1. 跨越時空

讓我從一個具體例子談起。大家在中學肯定學過以下定理。

定理(1) 畢氏定理

對於所有直角三角形，假設 a 是直邊長度，b 是橫邊長度，c 是斜邊長度。那麼 a² + b² = c²。

例如當 a = 3 厘米，b = 4 厘米，那麼由畢氏定理可知
c² = 3² + 4² = 25
所以 c = 5 厘米。這應該不難理解。

畢氏定理是以公元前五世紀在古希臘的畢氏學派命名，並被記載在 Euclid（歐幾里德）的《幾何原本》中。但依我看來，這功勞大概不應由畢氏獨攬。因為同一時期，在公元前三世紀的西漢末年，《周髀算經》成書，當中便記述了前人以解 a² + b² = c² 的方法來求得直角三角形邊長。引錄原文：

若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。

這段字，你讀起來可能半懂不懂。但其實只要串合「自乘」、「并之」、「開方」等詞，它正正是 a² + b² = c²。

希臘和中國，這兩個分別位於歐亞大陸東西兩端的古老國度，文化有天壤之別。在那通訊隔絕的時代，兩邊竟然不約而同都有人獨力發展出這幾何學的奠基定理，可見數學知識在古代已跨越地域界限。

1.2. 歷久常新

此外，數學知識更能跨愈古今界限。原因是，一旦某數學定理被證明為真，它便從始為真，永不改變。所以不出所料，創於二千年前的畢氏定理，時至今日，仍舊寫在每本基礎幾何學的書中。不單如此，那本《幾何原本》裡每一道幾何定理，只要是附上了嚴格證明，便必然至今仍正確無誤。

這是數學的獨特性：其絕對真確性讓其他科學或人文學科望塵莫及。舉例，在古希臘時代，流行 Ptolemy 的「地心說」。地心說認為，宇宙萬物（包括太陽、太陽系的行星、和其他所有恒星等）皆以地球為中心，圍繞運動。此外，還流行 Plato 的「四元素說」。他認為，世間一切物質皆由火、水、土、氣四種元素構成。

這兩個理論在今天看來當然錯得離譜。但在那缺乏科學觀測技術的年代，古希臘的哲學家嘗試直觀地解釋眼前所見的自然現象，實在是無可厚非。事實上，「地球圍繞太陽公轉」的說法是到十七世紀伽利略以後才被廣泛承認，「日心說」終於取代「地心說」。而所謂的四元素，則隨著真正的元素（如氧氮氧金銀銅等）被發現而褪去。在十九世紀，現代的「元素周期表」終於誕生。

由此可見，古代的天文學和化學理論均已在科學進步中被淘汰，更遑論古代醫學、心理學、生物學等了。反觀我們的畢氏定理，不管世界在這二千年間翻天覆地的劇變，仍能乞立不倒。而 Euclid 那十三冊幾何原本，經歷無數前人的試練，依舊在基礎幾何學中堅守一席位。如此看來，無堅不摧的數學實在分外可貴。

這第 1 部分拋磚引玉，帶出一個問題：數學為甚麼能跨越時空，永恆為真？

為解答這疑問，我將用第 2 部分作舖墊，解釋人類文明累積了二千年的數學知識，是以甚麼形式存在。完滿的解答將在第 5 部分。

第 1 部分小結：數學知識的真確性跨越時間和空間。

2. 千年巨業：數學知識的存在形式

數學有三個重要組成部分：定義、證明、和定理。首先要定義一些數學概念，然後進行嚴謹的證明，從而獲得數學定理。

2.1. 數學概念的定義

讓我舉一例。以下是一個定理：

定理(2) 任何一個單數，乘以另一個單數，結果一定是單數。

例如 3 和 5 是單數，所以 3×5，等於 15，也是單數。這是一個簡單的數論定理。但首先，我們必須釐清相關定義：例如甚麼是「單數」？甚麼是「乘以」？

你或許想：多餘！這也要問？其實，我想展示的，是數學的精神：所有概念都必須毫不含糊，賦予準確定義。否則，建基於此的推論便會隨之變得脆弱、邏輯不清。數學講求嚴謹，因此粗疏的定義和論證皆是致命傷。

回想起我讀大學本科時，學校規定要修幾門通識課。當時我選了一個關於印度經典文學的。有次堂上討論，教授不停提到「梵」這概念，而閱讀文本裡也頻頻出現「梵」。講到中途忽有一個同學發問：「究竟『梵』是甚麼？」教授頓一頓，笑笑口答：「啊⋯⋯這個不好說，不好說⋯⋯」他之後雖有補充幾句，但始終沒有清晰回答。不用說，我也是聽得迷迷糊糊。

我舉這例並非要貶低其他學科，而是要帶出數學定義絕不會這般含混。

回到單數的定義。其實這只是小學數學。

定義 (3) 單數

單數，就是不能被 2 除盡的整數。例如 1, 3, 5, 7, … 等

留意重要一點：定義 (3) 牽涉「整數」和「除盡」兩概念。因此，我們可繼續追問這兩者的定義。甚麼是「整數」？甚麼是「除盡」？這是數學另一大特徵：數學幾乎所有的定義、證明、定理，都是層層疊疊，一個建基於一個的。換句話，面對每一個數學定義，我們都必能溯源追流，由淺入深理解其意義。譬如，就「除盡」一詞，它的意義建基於「除法」，「除法」又建基於「乘法」，「乘法」又建於「加法」。

為了更傳神地說明此現象，我上維基百科選了一個名詞：「黎曼流形」。這是微分幾何學的概念，大概屬於研究院程度。我逐字逐句從維基百科複製，以下是其定義：

定義(4) 黎曼流形

黎曼流形是一個微分流形，其中每點 p 的切空間都定義了點積，而且其數值隨 p 平滑地改變。

現在清楚何謂黎曼流形了吧？

你肯定茫無頭緒，因為你跟本不知道何謂「微分流形」、「切空間」、「點積」等。但維基百科的優點，是當讀者看見語意不明的詞語，可以點擊這些詞查看其意思。甚至可繼而逐頁深究下去，打破沙盆問到篤。我們一於放膽一試吧！不過放心，以下這一連串定義你感受一下即可，絕不需細讀。例如，點擊「微分流形」，便出現以下定義：

定義(5) 微分流形

光滑流形，或稱 C∞-微分流形、C∞-可微流形，是指一個被賦予了光滑結構的拓撲流形。

仍然不懂。何謂「光滑結構」和「拓撲流形」？點進後者一看：

定義(6) 拓撲流形

設 M 是豪斯多夫空間，若對任意一點 x ∈ M，都有 x 在 M 中的一個鄰域 U 同胚於 m 維歐幾里得空間 ℝm 的一個開集，就稱 M 是一個 m 維流形或 m 維拓撲流形。

嘩，甚麼來的。硬著頭皮，隨便選個「歐幾里得空間」按進去：

定義(7) 歐幾里得空間

以 ℝn 表示實數域。對任意一個正整數 n，實數的 n元組的全體構成了 ℝ 上的一個 n 維向量空間，用 ℝn 來表示。至於歐幾里得空間，則是在 ℝn 上再添加一些內容：歐幾里得結構。

不如再按「實數體」看看？

定義(8) 實數

實數可以用通過收斂於一個唯一實數的十進制或二進制展開如 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, … 所定義的序列的方式而構造為有理數的補全。實數可以不同方式從有理數構造出來。

開始有些熟悉了。它提到所有小數，如3、3.1、3.14等等都屬於實數。不如繼續按下去，看看何謂「有理數」？

定義(9) 有理數

數學上可以將有理數定義為建立在整數的有序對上(a, b)的等價類，這裏b, d不為零。我們可以對這些有序對定義加法和乘法，規則如下：
(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)
(a, b) × (c, d) = (ac, bd)

為了使 2/4 = 1/2，定義等價關係 ~ 如下：(a, b) ~ (c, d) 當且僅當 ad = bc。

這種等價關係與上述定義的加法和乘法上是一致的，而且可以將 ℚ 定義為整數有序對關於等價關係 ~ 的商集：ℚ = ℤ × (ℤ – {0})/ ~。例如：兩個對 (a, b) 和 (c, d) 是相同的，如果它們滿足上述等式。

好複雜。咦？有沒有發現，在第一句又提到「整數」了，是跟我們定義 (3) 中一樣的名詞！而且當中也出現了「加法」「乘法」等詞。由此可見，簡單如「單數」，複雜如「黎曼流形」，其定義都是從最基礎的概念構築而成：例如「整數」，「加法」，「乘法」等。

頭暈轉向地兜了個大圈，我希望你至少看清：數學很難，其中一個難點，是其高深複雜的定義。回顧剛才一例，由「黎曼流形」向下追溯至「整數」，一共經過六層的定義。而且他們不是「一個建基於一個」的關係，而是「一個建基於幾個」。粗略估算，如果每層下面是由兩個定義承托，那總共已經有2×2×2×2×2×2個，即是64個定義了。再者，對於讀數學的人，只是「知道」一堆定義是遠不足夠：我們更要「理解」這些定義的深意。因此學習數學是極費時間的。普林斯頓大學數學家 Jacob Lurie 有以下生動的描述：

Mathematics is a giant playground filled with all kinds of toys that the human mind can play with, but many of these toys have very long operating manuals.https://youtu.be/ZMG3hS4udvs

所謂「very long operating manual」，就是說理解現代數學，需要海量預備知識。當中便包括要掌握相當部分的數學術語。

順帶一提，雖然「整數」「加法」「乘法」這些概念大部分人都瞭如指掌，但他們的嚴格定義牽涉一些技術性的細節，實在不好解釋。所以我將不再周旋下去，關於數學定義的討論到此為止。

2.2. 數學定理

或許有人會質疑：這般架牀疊屋，無中生有地定義了一大堆數學概念，豈不是天下本無事 ，庸人自擾之？其實不然，因為定義只是第一步。這有如我們最初學英文時，必須先熟習一些詞彙的定義，繼而以之編寫有意思的句子。數學亦如此。某程度上，數學也是一種語言。定義的存在，是為了寫下數學定理及其證明。

何謂數學定理？簡言之，就是有關數學概念的命題。舉例，還記得以下定理？

定理(2) 任何一個單數，乘以另一個單數，結果一定是單數。

它陳述了一個單數和乘法之間的簡單關係。

以下是另一定理：

定理(10) 任意一個單連通和封閉的三維拓撲流形，都與三維球面同胚。

它陳述甚麼，你肯定不明所以，因為你不懂當中的術語。不過細心的讀者會發現，「拓撲流形」一詞其實已曾出現於定義 (7)，並非常人能理解。而不出所料，「單連通」、「封閉」和「同胚」等詞的定義都各有千秋：大約是大學數學三四年級的內容。而定理 (10) 則在說這些定義間的一個關係。

2.3. 數學證明

數學定理皆是命題，正如定理 (2。是一道命題。但要確認它為正確，便需靠嚴格的數學證明。

何謂「證明」，因學科而異。舉例，法律上證明某人有罪，需要人證物證動機等。歷史學上的證明，要翻查古籍文獻或實地考察。天文學的證明，則常透過望遠鏡觀測天體，配合電腦模型分析數據。數學證明，則純粹依靠邏輯推論。

何謂純粹的邏輯論證？其確切意思我將在第 5 部分解釋。這刻為免紙上談兵，我應從一個具體例子著手說明。我因而寫了一個對定理 (2) 的證明，在附錄一，感興趣的讀者可去瞧瞧。

跟數學定義一樣，數學的定理和其證明都是一層一層建築而成。記得我中學老師曾說：讀數學跟讀歷史不同。比如這陣子你讀唐朝歷史。讀不熟，人物關係記不清，沒關係，下星期讀宋朝重新開始。但數學不同，是要累積的。加法學不好，便不能學乘法；平面幾何學不好，便不能學立體幾何。

容我說得更直白點：假如你看不明白附錄一中對定理 (2) 的證明，很可能是因為不諳代數運算規則。譬如，該證明用上以下定理。

定理(11) 乘法分配性質

對於任何整數 x、y 和 z，都有 (x + y)z = xz + yz

如果你不知道這定理，自然看不懂定理 (2) 的證明。換言之，定理 (2) 是建基於定理 (11) 的。這吻合數學知識的普遍特徵。下至中小學，上至大學研究院，以至現代數學的疆域，皆如此：數學知識是層層遞進，由基礎逐步建築而成的。尤記得。2.1 部分我們挑選了「黎曼流形」一詞，然後剖心掏肺地翻起它之下一連串的定義。數學定理的情況如出一徹：證明一個高等數學定理往往需引用幾十甚至上百個「較低層」的定理，而這些定理的證明又各自建於「更低層」定理。就如一棵百年古樹的老根向地㡳蔓延，結出無比複雜的網絡。若以蠻力夾生連根拔起，則可一睹底下無數分支。

不過順帶一提，嚴格來說這比喻不盡貼切。因為當針對一個數學定理查根究底，將不會如樹根般愈往下愈鬆散並最後中斷，反而將被導向一塊堅實的基石：那是甲部曾述的集合論和邏輯學。（這將在第 5 部分詳述）

題外話，「層層堆疊」這特色，普遍適用於數學和科學知識；相反，人文學科的知識則較小符合此特徵。以藝術為例，古往今來的藝術家的成就，都是能夠獨自成立的。你極其量只能說某人對後世作品的風格有間接影響，但絕不存在後者建立於前者的從屬關係。在藝術館看油畫，沒規定要順序先看文藝復興時期的，再看浪漫主義的，然後看印象派的，最後看現代的。我甚至敢斷言：即使將十七八世紀的油畫一舉抹去，十九世紀梵高、莫奈的畫將依舊驚艷，受世人青睞。反觀，假若將十九世紀的數學全部抹殺，那二十世紀的數學將淪為空中樓閣，不知如何解讀。

總言之，一個數學定理之所以成立，是因為有一個嚴格的證明。數學證明必須嚴格無誤，有根有據。它們往往環環相扣，層層疊疊。當有任何定義、概念、定理寫得含混不清，模稜兩可，便有損論證的嚴謹性。只要有一步失去邏輯性，牽一髮動全身，建基於之上的其定理和證明便隨之而土崩瓦解。這好比一道複雜的算式，只要計錯一步，答案便錯。

2.4. 千年巨業

讀到此處，你應該對數學知識的存在形式有初步概念吧？數學，實是一座千年巨業。它是由無數前人，花上千年光陰，竭盡心血勞力精神時間而興建的宏偉知識寶庫。當然，所謂數學成就也有重要性之分。在歷史洪流中留名的偉大數學家，會開山劈石創造新的數學領域，或以深刻洞見揭示不同領域之間前所未知的關聯，或埋頭苦幹醉心解決百年難題，或大膽提出猜想以引領未來的研究方向。他們留下的重要貢獻後人都要拜讀。名垂千古的巨人無疑只是少數。但前仆後繼，竭力為這座千年巨業添上一磚一瓦的，卻是跨時空跨國界的全體數學研究者。

順帶一提，何謂「偉大數學家」當然沒有唯一標準。但其中一個標準，是有數學諾貝爾獎之稱的數學界最高殊榮：菲爾斯獎 (Fields Medal)。此獎項每四年一度，每次頒予四人左右，獲獎者須不逾四十歲。菲爾斯獎得主，全是數學界超新星，於近年證明出震撼性的定理。得此獎，則注定名留青史。下文我們將屢次提及菲爾斯奬得主的事跡。

回正題。

數學，是無數前人的心血結晶。更甚者，這一代又一代人的奮鬥，絕不是漫無目的；這座累積了千年的數學知識寶庫，也絕非隨機雜亂，零零散散地堆積而成的。反之，數學發展往往是有跡可尋的。今人的成就，既承接前人的成果，也開創後人的研究方向。舉個例：一個數學家提出了一個引人入勝的難題，讓當時其他數學家苦苦思量，卻都束手無策。幾年後，有人想到一個新意念，以一個嶄新角度，在這難題上攻出一個缺口。但距離目標還很遙遠。然後沉寂幾年，或十幾年，又突然有人發表新結果，讓人們又向目標邁進一步。就是這般，寸步難行，兜兜轉轉的，經過不斷嘗試、失敗、和偶爾的突破，數學家們逐漸靠向目標。直至一天，某個數學家揉合前人的成果，寫下神來之筆，將最後一道難關衝破：難題完滿解決。結果，一個數學難題，耗上幾代數學家的苦幹，歷時數十甚至上百年，終於塵埃落定。

花一百年做一件事。真的，如此浩大的成就在數學史上屢見不鮮。作為例證，以下是三個跨越世紀的經典難題。

古希臘三大數學難題之一，化圓為方問題：它是由古希臘數學家，於超過二千年前提出。在1882年，才被德國數學家 von Lindemann 解決。

費馬大定理：它是由法國數學家 Fermat 在1637年提出，並由英國數學家 Wiles 在 1994 年解決，歷時358年。順帶一提，Wiles 的證明長達109頁。

第三個難題的故事我以下將稍加解說。

龐加萊猜想：它是由偉大法國數學家 Poincaré 在1905年提出。Poincaré 當時有一個想法，並有不少旁敲側擊的證據，讓他相信這想法是正確的。他嘗試嚴格地證明它，卻始終失敗，因此這想法當時只算是一個「猜想」，而未算是「定理」。換言之，沒有人能百分百肯定，該想法正確與否。他因而向數學界拋出了這個難題：龐加萊猜想，讓其他數學家嘗試證明。

猜想 (12) 龐加萊猜想

任意一個單連通和封閉的三維拓撲流形，都與三維球面同胚。

這是否似曾相識？其實這完完全全是上文的定理 (10)。你可能疑惑，這不是「猜想」嗎，怎麼又變成「定理」了？沒錯，它一直只是個猜想，直至 2003 年。當年，俄國數學家 Perelman 發表了三篇論文，宣稱證明了龐加萊猜想。之後三年，進行同行評審 (peer review)，由該領域的專家細閲這些論文，以檢查其正確性。2006 年，評審完畢，Perelman 是正確的。解決了世紀難題，他名聲大噪，並贏得了菲爾斯獎，及一百萬美元獎金。然而，Perelman 最終竟將兩者都拒絕，更自此從數學界隱退。他對學問徹底純粹的追求，堪稱傳奇。

化圓為方、費馬大定理、龐加萊猜想，誰提出，誰解決，我如此輕描淡寫。但請別誤會，這些經典難題的故事，絕不只圍繞一兩個數學家。就龐加萊猜想為例，在二十世紀，有無數人勇敢向它挑戰，卻空手而回。亦不時有人宣稱自己成功了，但其論文在同行評審階段卻被指出錯誤：此情況多不勝數。反之，亦有多個數學家在龐加萊猜想取得關鍵進展，或解決了其他相關的重要問題：

• 1961 年，美國數學家 Smale 證明了，如果把龐加萊猜想中「三維球面」一詞換成「五維球面」、「六維球面」、或更高維球面，則猜想是正確的。他因此獲得菲爾斯奬。
• 1981 年，美國數學家 Hamilton 發明了黎奇流 (Ricci flow) 技術。往後 Perelman 的證明方法，正是黎奇流。
• 1982 年，美國數學家 Freedman 證明了，如果把龐加萊猜想中「三維球面」換成「四維球面」，則猜想是正確的。他亦因此獲得菲爾斯奬。
• 1982 年，美國數學家 Thurston 提出了幾何化猜想 (Geometrization Conjecture)。這是一個極廣泛的猜想：它將龐加萊猜想吸收了，將之變成其中一個小 case。他亦因此獲得菲爾斯奬。

一個猜想，孕育了四個菲爾斯奬。龐加萊猜想最終成為定理，實是一整世紀數學家努力的成果。

第 2 部分小結：數學知識是以定義、定理、證明的形式存在。無數前人的奮鬥，建成了今日龐大的數學知識庫。

3. 孤高獨立：數學之抽象

假如這刻從宇宙深處射來一束超強伽傌射線，瞬間摧毀地球，不留痕跡，所有生命灰飛煙滅。那麼，人類有哪些知識或學問還有價值？

我想，一眾人文學科首當其衝。藝術、文學、音樂，依賴人類的審美觀、文化背景、生理或心理條件。人類滅亡，它們再無人欣賞，頓時失去意義。至於歷史學或語言學等，是以人為本；沒了人類，便同樣沒用了。此外，所有經濟學和社會學理論無人問津，失去用途，所以價值歸零。科學方面，醫學和生物學專門研究地球生命，也可一概作廢。就算退十步而論，假想在宇宙某角落有外星人，他們的生活模式、生態系統和進化條件都肯定大異於地球人：我們的經濟社會生物學醫學，他們用不著。

那究竟有甚麼知識可以留下？化學和物理學，則較有希望。這是因為根據天文觀測，化學和物理法則是全宇宙通用的。舉例，在地球上，生鏽的鐵是啡紅色的；而同樣，覆蓋火星表面的鐵礦，也是啡紅色的。又例如在地球上，一塊從高處落下的大石在墜地時，會根據牛頓第三定律而破裂，碎片四濺；同理，兩個遙遠的星球相撞，其碎片亦會各自飛彈。推而廣之，即使地球慘遭毀滅，我們的元素周期表、牛頓運動定律、萬有引力等化學和物理學理論，將繼續正確無誤地描述宇宙間的現象。故此，化學和物理的知識，將依舊存有價值。（以下圖片來源在附錄四）

除此之外還剩甚麼？是數學。我斷言，就算地球所有生命毁滅，甚至連太陽系、銀河系也化為烏有，人們對於數學定義、定理和證明的知識，將仍舊有價，毫不失色。

為什麼？簡單答案：例如，「5 × 12 = 60」這事實，無論如何，都是正確且有意義的。

你可能不服：既然一切都沒了，算式也沒有用途了，那數學還有何用呢？要詳細回答，便得首先知道：數學的研究對象是甚麼？以及它有何特點，以致地球毀滅也傷它不了？這便是第 3 和第 5 部分的主題。

開始前先強調一點：之前第 2 部分是描寫數學知識的存在形式，而不是數學的研究對象本身。如果只讀第 2 部分，你可能認為數學就是研究一堆就無中生有、虛無縹緲的東西。事實並非如此！定義、定理、證明，寫出來往往隱悔又難懂。但這只是表面，它背後所代表的事物、意念、現象才是數學的精髓所在。那具體是甚麼，現在開始談。

3.1. FORMAL PATTERNS

數學是研究甚麼？這問題太闊了，沒有標準答案。1982 年菲爾斯獎得主 Thurston 曾試用一句話概括數學：

the theory of formal patternsThurston, On Proof and Progress in Mathematics

既是出自數學權威，自然有其道理。故此第 3 部分整個討論將執著於這句話，解釋數學是研究甚麼，從而理解當中的浪漫。這句話牽涉三個詞，由淺入深是 theory、patterns、和 formal。

Theory，即是理論。其意義明顯直接，沒甚麼好說。

Pattern，就是模式、樣式、有規律的現象。舉例，

• 化學方面：「鐵礦都是啡紅色的」，是一個在由美國大峽谷以至火星表面都出現的 pattern。
• 物理方面：「兩個物體相撞破裂後碎片會四散」，是由地面山泥傾瀉以至宇宙中星體碰撞都出現的 pattern。
• 數學方面：定理(2) 「任何一個單數，乘以另一個單數，結果一定是單數」，也在描述一個 pattern。其實就算你之前不知道這定理，只要隨手抽幾對單數來相乘，觀察一下，也不難發現這 pattern。例如在以下乘數表，我用紅色標示單數，當中 pattern 顯而易見。

然而，第三個 pattern 屬於數學領域，而第一二個卻不是。為什麼？根據 Thurston，那是因為第三個 pattern 是 formal 的，而首兩個則不是 formal。說了半天，究竟 formal 是甚麼意思？

Formal 的意思，不好說⋯⋯這詞有多種歧意，且它僅是日常英語用詞，而非嚴格的數學名詞。我又翻查牛津英漢字典，相關的解釋應是

logic, free from the descriptive content that would restrict it to any particular subject matter（譯：邏輯的，獨立於「將之局限於任何特定事物的『它所描述的事物』」的）

這解釋讀起來不明所以。但如果結合我對數學的認知，我會將 formal 一詞演繹為兩點：

• 與邏輯相關的
• 抽象的，脫離現實生活的

一般人會想：即係點啫？

故此，我在 3.2 – 3.4 部分將透過多個例子，深入說明 formal pattern「抽象的，脫離現實生活的」這特色。而另一特色「與邏輯相關的」則會在第 5 部分說明。我希望由此解釋數學研究甚麼。

3.2. 完美平面世界中的畢氏定理

定理 (1) 畢氏定理，也在描述一個pattern。它說任何直角三角形，不論大小、高矮、長短、不論是畫在哪裡，怎樣畫，打橫打棟打斜，只要是畫在平面上，a² + b² = c² 便一定成立。

然而，魔鬼在細節。

嚴格來說，畢氏定理的真正函意是：

定理(1) 畢氏定理：對於一個完美的直角三角形，假設絲毫不差地，其直邊長度是 a，橫邊長度是 b，斜邊長度是 c。那麼 a² + b² 將準確地等於 c²。

但現實世界根本沒有完美的直角三角形！假如你拿起紙、筆、直尺、量角器，動手畫一個直角三角形。結果將是，直尺的邊緣透過顯微鏡觀察是有凹凸的，以至你畫的直線不可能百分百筆直。要擺正量角器來畫直角時，我們的視力和手部活動也非絕對精準，所以完美直角也是不可能。再者，任何枱面都不是絕對平面。而用間尺量度邊長 a、b、c 時，所得結果的準確度，又受我們的視力和間尺刻度所限：準確到 0.1mm 已是極限。故此度量也非絲毫不差的。可見，畢氏定理所要求「完美的」、「絲毫不差地」等條件，在現實中根本不可能滿足！既是如此，「a² + b² 將準確地等於 c²」這結論根本無法獲得！

請別誤會，我不是說畢氏定理在現實中沒用：它是超有用的。因為現實中人們畫圖、建屋、測量地形、或觀測天體時，所要求的精準程度皆是夠用即可，根本無需達到百分百。我們不奢求「a² + b² 將準確地等於 c²」，只求「a² + b² 將太約等於 c²」。前題是要清楚每個量度的誤差，知道所謂「大約等於」有多粗略，以保證計算結果的誤差是在安全範圍內，那便可放心使用畢氏定理。

我是說，畢氏定理作為數學定理所描述的 pattern，嚴格來講不是在現實世界，而是某個虛擬的完美世界。該世界存在完美平面、完美直線、完美直角、完美的量度方法。而正是在那裡，才有完美的直角三角形，才有「a² + b² 準確地等於 c²」這個 pattern。故此，畢氏定理作為完美世界的產物，其存在意義自然能倖免於地球的毀滅。

你現在感受到這個 formal pattern 之抽象嗎？可能有讀者覺得我言過其實了，心想：「那所謂的完美世界，其實和現實世界所差無幾啊。對於畢氏定理所描述的 pattern，你硬要冠上 formal pattern 之名，好像小題大做？」

請耐心。畢氏定理只是入門級例子。在第 2 部分我已說明，現代數學知識堆疊得高不見頂。當中絕大部分 pattern 都 formal 得一般人難以想像。我們一步步來吧，怪獸級例子正在 3.4 部分等你。

3.3. 數字世界中的質數

幾何和數論皆是古老的數學分支。剛看過幾何學的畢氏定理，這部分我們轉看一個數論概念：質數。但在此之前，我要先簡介數論研究哪類 pattern。

數學的起源其實不難想像。古人在生活中需談論物件的數量，比較多寡，便發明了數目字，或稱正整數：1, 2, 3, 4, 5 … 然後他們留意到數數目有不同方法，效率各有差異。例如我有 10 塊貝殻，你有 15 塊。要知道貝殼總數，不必麻煩地將全部放在一起從頭再數：加一加便可，10 + 15 = 25。於是古人發明了加法。但慢慢發現加法有時還不夠用。舉例，某個部落有 60 人，每人有 50 塊貝殻，那這部落共有幾多貝殻？人們又發現，不必重複地計 50 + 50 + 50 + …：乘一乘即可，60 × 50 = 3000。於是古人又發明了乘法。由此可見，正整數、加法、乘法這三個概念在人類文明進步中自然而然就誕生了，絕非刻意捏造或太抽象的概念。如果有天外來客探訪地球，而在他們的文明中竟然從未出現加法或乘法，我反而難以置信。加法和乘法實在是那麼渾然天成、無處不在。而數論的研究對象，便是由正整數、加法、和乘法所衍生的 pattern。

有人可能奇怪：「明明說數學是研究抽象的 formal pattern，現在又說加法乘法與生活息息相關，這不是自相矛盾嗎？」非也。的確，現實生活令加法乘法誕生，但由加法乘法所開展的數學，卻往往脫離現實。請看以下例子。

當人們建立了乘法，自然便會好奇地探索一番，尋找有趣 pattern。人們發現，有些數可被分拆成較細數字的相乘，例如

• 4 = 2 × 2
• 6 = 2 × 3
• 8 = 2 × 4 = 2 × 2 × 2
• 9 = 3 × 3
• 10 = 2 × 5
• 12 = 2 × 6 = 3 × 4 = 2 × 2 × 3，等等

其他數，則不能被分拆，例如 2, 3, 5, 7, 11, 13, 等等。

有些數「可分拆」，有些不能，有趣。不如將眼界放遠，看看 1 至 100 之間的數？下圖中我將「可分拆」的數畫掉，「不可分拆的」則以紅色標示。

可見紅色數字零零散散分佈在各處。數學上我們有以下正式名稱：

定義 (13)

不可分拆的數，稱為質數。而且，數學家約定俗成地不把 1 當質數。換言之，上圖紅色的便是質數。

仔細一瞥，除了「2」之外，所有 2、4、6、8、0 字尾的數都非質數，因為它們可被 2 除盡，從而分拆出 2 來。同理，6, 9, 12, 15, … 等 3 的倍數也不是質數，10, 15, 20, 25, … 等 5 的倍數也非質數，如此類推。由此可知，「非質數」有許多許多，共有無限多個。

那反問，質數是有限多還是無限多？從追尋 pattern 角度，我們當然它希望愈多愈好，最好是無限多。否則，只要將這有限個質數全部列出便一目了然，曲終人散，太無聊了。

順便一提，「無限」通常比「有限」精彩。無限，意味當中牽涉的情況或事物多得無法盡錄，相關問題也不能用窮舉解決。即使有台超級電腦從盤古初開運轉到世界末日，也始終無法處理無限個指令。故此，當一個數學問題牽涉無限，人們便須發揮創意探求解法，而不能沒頭沒腦死板地逐個可能性亂試一通。舉例，要證明定理 (2) 「兩個單數相乘，結果一定是單數」，不能把全部單數都相乘一遍（因單數有無限多，乘不完），而要如附錄 1 中的證明般運用邏輯推理。同理，因為直角三角形高矮肥瘦有無限多種形狀，所以定理 (1) 畢氏定理的證明也不是透過窮舉。

希望你現在信服「質數是有限多還是無限多？」是個關鍵問題。事實上，二千多年前已有古希臘數學家思考這問題。公元前 300 年，偉大數學家 Euclid （對，又是他）在其名作《幾何原本》給予解答：

定理 (14) 質數有無限多個。

這定理奠定了往後二千年對質數研究的基礎。原來就在我們眼皮底，那天然單純的加法乘法運算之下，潛藏一個無限的質數世界。定理 (14) 簡直如哥倫布發現新大陸般重要，之不過這次發現是位於抽象的數字世界而非現實世界。從此數學家開始問各式各樣的問題。例如關於質數分佈的 pattern，人們會問：

• 1 字尾、3 字尾、7 字尾、9 字尾的質數，哪些較常出現？
• 質數的出現是愈來愈疏嗎？
• 質數出現的頻率具體地應如何預測？
• 人們發現有些相差為 2 的「孿生質數」：如 3 和 5、5 和 7、11 和 13、17 和 19、29 和 31、41 和 43、等等。這些孿生質數共有多少對？是否無限多？

數學家對質數的研究在近幾百年從未間斷。當然，人們的知識與日俱增，廿一世紀的數論學家遠比十七世紀的了解質數。但懸疑未解的問題實在太多，時至今日質數仍是極之活躍的研究課題。質數的魅力在於，它是如此簡單——小學生也能理解其定義——卻又擁有極神秘的 pattern，難倒一眾頂尖數學家。舉例，對於以上第四問，數學家猜想「孿生質數是有無限多對的」。而人們透過電腦程式也確實找到許多孿生質數，看似沒完沒了。但正如前述，窮舉解決不了問題，第四問至今仍懸而未解。

這些關於質數的 pattern，不存在於人們日常生活，或真實世界任何角落，也不能被任何人、文化體系、國家機關據為己有。要探索質數，不需攀山涉水，身陷險境，也不必花費百億美元興建大型強子對撞機，或動用哈勃太空望遠鏡觀察遠古宇宙。數學家只需安坐家中，一張紙，一支筆，一杯咖啡，或三三兩兩聚在大學裡的黑板前，討論一番，讓思緒漫游這片數字世界，尋幽探秘。

總之，質數實在是 formal pattern 的典例。

3.4. 高維空間中的幾何形狀

世界有七大建築奇蹟，也有七大數學難題：它們是由 Clay Institute 在 2000 年公佈，被稱為千禧年大獎難題。這七大難題，不是人們為慶祝千禧年憑空創造出來，而是具悠久歷史、直搗數學各個領域核心、影響深遠的關鍵問題。解決一道題，可獲一百萬美元獎金。七道題中，本文其實已觸及兩道。一道是黎曼猜想，它與 3.3 部分質數第三問「質數出現的頻率具體地應如何預測？」有莫大關聯。另一道是七道題中唯一已解決的龐加萊猜想：

定理(10) 龐加萊猜想

任意一個單連通和封閉的三維拓撲流形，都與三維球面同胚。

它由是 Perelman 在 2003 解決，龐加萊猜想因而升格為「定理」。龐加萊猜想究竟是研究甚麼 pattern？通俗來說，它有助於「分類三維幾何形狀」。不過這課題太難了，無法在此深究。它有如一幢重門深鎖的堡壘，我們只能在鐵閘外探頭張望，摸著圍牆的花紋，打量一番。以下 3.4.1 – 3.4.3 部分，將談談三個相關概念：光滑流形、三維球面、和三維環面。希望這趟高維空間狂想之旅，可讓各位一睹幾何世界如何抽象又脫離現實生活。

開始前請有心理準備，3.4 部分將是本文最費力的一節。不是因為內容艱深，而是冗長，數學含量較重，要求一定耐性。但欲窮千里目，更上一層樓。我深信 3.4 部份能將 formal pattern 的抽象和脫離現實演繹得淋漓盡致。不過如果你中途實在堅持不下，也無傷大礙：從 3.5 部分再上路即可。

3.4.1. 光滑流形

我們從小已接觸幾何形狀：

但除此之外，數學家也關心更廣義上的幾何形狀。上圖的形狀，都是中規中舉、很規則的。舉例，圓形，很對稱很完美。但壓扁一些，變成橢圓，它仍是一個幾何形狀。再擺弄一下，七歪八扭，仍然是個幾何形狀！甚至可脫離二維平面轉戰三維空間，把它剪開再打個繩結，它依然是幾何形狀！

當數學家開始考慮這些不規則形狀，眼光開闊了，便發現更多有趣豐富的 pattern，而更多問題亦應運而生。研究這些形狀，需要新的語言。於是數學家發明了「光滑流形」，它將是 3.4.1 部份的主角。

定義(5) 光滑流形（以下簡稱流形）

是指一個被賦予了光滑結構的拓撲流形。

你可能大驚：我們在 2.1 部分見識過這定義，高不可攀，要由基礎解說豈不寫到天昏地暗？放心，正如前述，定義寫出來往往隱悔難懂，但它背後所代表的事物則未必如此：幾何學尤其如此。故此，我們將不會正面迎擊定義 (5)，只會旁敲側擊，藉由例子解釋流形描述哪類形狀，從而直觀地理解其意義。以下這些流形，除名稱以外，部分亦有數學符號，甚或 emoji 代表。

一維流形：（圖片來源在附錄四）

關於 ℝ1：它是一條向左和右都無限伸延的直線。換個角度，你可把它視為熟悉的數線：

二維流形：

關於 ℝ²：它是一個向四方八面無限延伸的平面。（上圖 ℝ² 中的複雜線條僅為輔助讀者理解，實則並不屬於 ℝ²）在小學中學所讀的所有平面幾何，正方形、圓形、三角形、畢氏定理等等，全部發生在 ℝ² 上。故此，我們又稱 ℝ² 為平面世界，或二維世界。

三維流形：

關於 ℝ³：想像一個無限大的房間。它沒有前後左右四面牆，也沒有柱子支撐，四面八方皆無遮擋。更甚者，它沒有天花板，向上可無限上升；也沒地板，無處可站，只有無窮的深淵。（上圖 ℝ³ 中的複雜線條僅為輔助讀者理解，實則並不屬於 ℝ³）如此無窮無盡的空間，便是 ℝ³。留意如果撇除「無窮無盡」這點，ℝ³ 的原型便是我們的現實世界。故此，以下將以三維空間統稱現實世界和 ℝ³。

還有三點值得留意。

第一，起角的形狀全被排除了，如正方形、錐體、柱體等，原因是它們不光滑。這不代表數學家不研究起角的形狀：只是它們屬於其他類型，需以其他語言描述。

第二，留意某些流形的名稱與慣常意思略有出入。例如上圖中我們刻意具分了「圓形」和「圓盤」。前者，記為 S¹，僅僅是指圓形的邊界，而不包含裡面那空白部分。反觀後者，記為 D²，則是實心的，連其內在也包含。所以 S¹ 沒有面積，只有周界，而 D² 則既有面積，亦有周界。

我們也區分只有表面而不包含內在的「球面 S²」，以及包含內裡的「球體 D³」。同理，S² 沒有體積，只有表面積，而 D³ 則既有體積，亦有表面積。順便一提，「包含內裡」和「實心」是意思一樣的。

我們又區分像冬甩表皮的「環面 T²」，和像整個冬甩  的「實心環面 D²×S¹」：

第三，是維度的意思。通俗的說法是：只有長度的形狀是一維，有長度和闊度的是二維，而長闊高都有的則是三維。例如，漫畫和卡通片在日語中有個別名：二次元世界，原因是它們皆存在於平面上。而我們的現實世界則是三維的。數學上，這說法大致正確，但未夠準確。為迎接 3.4.2 和 3.4.3 部分，我們須更嚴格地定義維度。

讓我們回顧圓形 S¹ 和球面 S²。假設，S¹上居住了一隻螞蟻，S² 上則住了一隻蜘蛛。你覺得牠們的活動誰較自由？肯定是蜘蛛吧。螞蟻只能沿著窄窄的黑線爬行，因為根據定義 S¹ 內裡根本無處容身。結果牠不論待在圓形 S¹ 哪處，移動方向只有前和後。反觀蜘蛛在球面 S² 上，可前後左右四圍走，無拘無束。由此可見，在二維流形上活動，遠比在一維上的自由。

我們又問：假設圓盤 D² 上居住了一隻蜘蛛，球體 D³ 裡面住了一隻雀仔。留意，此處假設這 D³ 是由空氣構成，可在內任意活動。你覺得牠們誰較自由？肯定是雀仔，因為除了前後左右移動，牠更可往上往下，爬升或俯衝任意飛。這不單是因為牠有對翼，而是 D³ 內之空間容許牠如此。雖然 D³ 的邊界像個籠子般將牠困著，不能飛遠，但至少在籠裏有一定自由。反觀 D² 只是塊平面，按規定蜘蛛不許跳躍，必須緊貼平面爬行。所以蜘蛛只能水平移動，不能上下活動。由此，在三維流形裡活動，又比在二維上的自由。（正因如此，飛行從來是人類的夢想）

看過以上四例，以下關於維度的定義應該不難理解：（當然這非正式的數學定義）

定義 (15)

在一維流形上生活，只能左右移動。

在二維的，則可前後左右或打斜走。

在三維的，可前後左右，更可上下打斜移動，最自由。

大家現已對流形有基本認識，可正式踏上高維狂想之旅！回顧以上圖表，只要細心觀察各流形的符號，不難發現某些流形是「一系列」出現的，而且擁有某些共通點。如

• 無限長直線 ℝ¹ ，其「二維版本」是無限大平面 ℝ²，而「三維版本」則是無限大空間 ℝ³。留意這三者都是無限大的，即是向外連綿不斷地伸延，無窮無盡。再者，這三者皆無邊界。例如，一隻生活在 ℝ² 上的蜘蛛，不管牠走得多遠，都永無絕路，不會撞上邊界。

• 線段 D¹，其二維版本是圓盤 D²，而三維版本則是球體 D³。與 ℝ¹ ℝ² ℝ³ 相反，D¹ D² D³ 都是有限大的。再者，這三者皆有邊界。例如，一隻蜘蛛在 D²上，從中心出發向外爬，牠終會到達邊界，無路可走。

• 圓形 S¹，其二維版本是球面 S²。顯然這兩者都是有限大的。但與 D¹ D² D³ 不同，S¹ S² 並無邊界！例如一隻在 S² 上的蜘蛛，牠如何亂盪，雖會兜回原地，卻不會撞上邊界。

總結，ℝ¹ ℝ² ℝ³、D¹ D² D³、S¹ S² 這三個系列的特性各異：

ℝ1, ℝ2, ℝ3	D1, D2, D3	S1, S2
無限大，無邊界	有限大，有邊界	有限大，無邊界

這個表很自然導出兩個問題。

第一，有沒有一些流形，是無限大，卻有邊界？有，具體例子並不難想，有興趣的讀者不妨試試，答案在附錄三。

第二，怎麼欠了 S³ ? 我們雖不知 S³ 是何物，但如盲目按上表推敲，S³ 應是有限大，且沒有邊界的三維流形。翻查至今所介紹的所有例子，卻沒有如此流形。難道我畫漏了？還是 S³ 根本不存在？當然都不是。數學上，S³ 的正名是三維球面。但我敢說，如果你只憑日常經驗或常識去尋覓它，將窮一生之力也徒勞無功。

這麼誇張？這並非信口開河，等我解釋。眾所周知，圓形 S¹ 是個平面圖形，換言之它可被畫在平面。又知道，縱使球面 S² 是二維的，但它不是平面圖形，而是立體的，換言之 S² 不存在於平面 上，而須放在三維空間之內。我們輕輕類比一下，可知 S³ 如果存在，將不能存在於三維空間內，而必須放在四維空間之內！但現實世界是三維的，四維空間（記為 ℝ⁴）是甚麼樣，無人知，總之是超現實的。這意味，S³ 是畫不出來、造不出來、且是實現一切都無可比擬！S³ 就是如此抽象，不可觸及，連想像其模樣也似乎無從入手。

幸而，研究抽象事物正是數學家專業，他們創造適合定義，證明相關定理，排除萬難研究 S³，以至其他三維流形。其實三維流形五花八門，遠比二維的豐富，之不過它們大多不存在於現實世界，而只在四維、五維、六維等高維空間中！ 2.4 部分曾提及數學家 Thurston 的事跡：「他提出了幾何化猜想。這是一個極廣泛的猜想：它將龐加萊猜想吸收了，將之變成其中一個小 case。他亦因此獲得菲爾斯獎。」這個幾何化猜想，是一幅宏大的願景圖，引領一眾幾何學家理解、分類三維流形。當 Perelman 在 2003 年成功證明龐加萊猜想，便是將最後一片拼圖補上，一併證明了幾何化猜想，完成分類三維流形的巨業。

不過正如前述，本節的目標只是三維球面和三維環面。

3.4.2. 三維球面 S³

現開始構想三維球面 S³。這趟旅程將頗為曲折，中途你或會疑惑內容看似與數學無關。請放心，只要跟著我步伐，耐心細讀，到 3.4.2 部分結尾我們定會抵達 S³。

好，讓我拋出一個問題：地球表面像哪個流形？

首先釐清問題。我假設地球表面是光滑的，即是沒有山脈，沒有深溝，只有光禿禿無邊無際的平原。再者，我們只管地球的表面，裡面的地幔地核一概不理。有了這些前設，正常人都知道（除了地平論者？），地球表面是個球面，即 S² 。

但這答案並非自古以來都如此顯然。從前古人登上高山，看見大地無邊無際，不見盡頭，曾以為地表是個的無限平面，即 ℝ²。又曾有人以為地表是圓盤狀 的，即像 D²，由四隻大象馱著，大象則踏在大龜背上。直至公元前三世紀的古希臘，偉大哲學家 Aristotle （亞里士多德）透過天文觀測，論證地表是球面形狀的。到十五世紀大航海時代，麥哲倫船隊以三年時間完成環球之旅，進一步證明地面是個球面。至二十世紀太空時代，人類終於能夠從太空回望，一睹地球全貌。1972 年 Apollo 17 號攝下著名照片 The Blue Marble，無容置疑，地表是 S² 形狀。

好，第二個問題：宇宙空間像哪個流形？留意所謂「宇宙空間」，是純粹指宇宙的「空間」，而不包括空間裡的東西。即是所有行星、恆星、星系、星雲、黑洞等等雜物，我們一律不理！它們只是沙石，少一塊或多一堆也不影響我們所關心的宇宙空間形狀。

簡單觀察一下，我們活在宇宙間，可以前進、退後、向左行、往右走，又能拾級向上向下走，自由自在。所以根據定義 (15)，宇宙肯定是三維的，這亦符合常識。但具體是圖表中哪個三維流形？

球體 / D3	實心環面 / D2×S1	實心雙環面	無限大空間 / ℝ3

這是個難解的天文學問題。如果只直觀地猜測，舉頭望天，宇宙看似無窮無盡，你可能答「宇宙是個無窮大的三維空間，像 ℝ³」。這有如古人以為地表是 ℝ²。但如果你相信宇宙有盡頭，之不過那邊界是在萬億光年以外遙不可見，則可能答「宇宙是個極大的球體，像 D³」。這又如古人以為地表是 D²。但除此之外還有其他可能嗎？

有，現在我提出第三個可能。請額外留神，因為終於終於要正式構想三維球面 S³ 了！

假設一艘太空船從地球出發。我們規定：它升空後必須選定一個方向，然後一直前進，不准回頭或轉彎。即只能畢直遠離地球，駛向宇宙深處。具體情景，不妨想像 David Bowie 的 Space Oddity。歌詞中太空人 Major Tom 的飛船機件失靈，無法操控。在無重狀態，無外力作用下，飛船只會根據慣性而直線前進。而 Major Tom 也只能無助地望著窗外藍色的地球愈飄愈遠，消失在視線中⋯⋯

根據前述，我們忽略宇宙中各種星體，所以可排除飛船意外撞向其他星球，或被黑洞吞噬之類情形。故此，這艘飛船將衝出太陽系，飛越銀河系，一直前行，最終結局將如何？一種可能：如果宇宙空間是ℝ³，則將永無止境地前行。另一可能，如果宇宙空間是像有邊界的 D³ ，飛船終有一天抵達宇宙盡頭，無法前行。第三種可能，是飛船行過億萬光年後，從另一方向，回歸地球：

「喂，等等，怎麼可能？」你問。「飛船既是直線飛走又怎能回來？」

不，有可能的。你斷言「無可能」，只是基於日常經驗和常識。但當牽涉宇宙層次的現象，遠離於日常生活，常識便未必適用。

讓我舉一類比：如果你回到一萬年前，告訴一個原始人：「面向北方，一直走不要停，那穿洋過海後，你終會從南面回到此地。」原始人肯定大驚，因為這有違他常識啊！但你知道，他見識狹窄，只以為地表是 ℝ² 或 D²，誰不知原來是 S²。他不知道地表根本是彎曲的，在地表上走直線，路途長了，便必有彎度。路途愈長，彎度愈大，最終彎回原地。

同理，你以為飛船直線飛走便不可能回來。從 Major Tom 角度，飛船確實以直線飛行。誰不知宇宙空間是彎曲的。不識廬山真面目，只緣身在此山中。飛船在宇宙中小如微塵，從一個局部的視角，當然無法察覺宇宙大域的空間彎曲。當飛船愈飛愈遠，其飛行路徑的彎曲正一點一滴地積累起來。以致飛過億萬光年後，累積的彎度終於足夠把飛行路線扭成一個圓形，讓飛船回歸久違的地球。

只憑常理，這確實難以置信。但宇宙之大無奇不有，這種情況至少理論上是可能的。有趣吧？

好，離 S³ 只剩埋門一步了。回顧球面 S²，我們知道不論身處地球哪處，如果面向北方，一直前進，終會返回原地。但不單如此，你其實可以選擇任何一個方向開展旅程。例如面向東北方，畢直前進，也終會回歸原地。又或面向西南偏西，一直走，亦終可兜回來。

我們將這對 S² 的描述，套用於剛才對宇宙的想像。假定我們已發現在這宇宙，當一艘太空船以直線飛行，在許久許久以後它會從另一方向返回地球。現在我們再假定：這艘飛船，不論當初選擇哪個方向開展環繞宇宙之旅，它都能回歸地球：

如果我們的宇宙空間滿足這個條件，我們則稱它的形狀為三維球面，其符號記為 S³。總結：

定義 (16) 三維球面

假設有個三維流形，在內有艘飛船。又假設，不論這艘飛船選擇哪個方向，畢直前進，它都能回歸原處。那麼，我們稱這三維流形為一個三維球面，其符號記為 S³。

這，便是抽象的 S³。那 S¹ S² S³ 系列也終於完成了，真不容易。收結前，有三點補充。

第一，可能有讀者疑惑：我們明明在談數學，怎麼研究 S³ 時連地球、宇宙、飛船、Space Oddity 都搬出來，這哪像數學？誠然，這絕非嚴謹的數學語言。如果翻開一本現代幾何學的書，以正式的語言，S³ 的定義可寫得極之精簡：

定義 (16’) 三維球面

三維球面，記為 S³，是集合 {(w, x, y, z) ∈ ℝ⁴: w² + x² + y² + z² = 1}。

普通人看著，不明所以。但正如我反覆強調，數學符號看起來很抽象，但其背後所代表的概念則未必。換個生動的表達方式，地球、宇宙、飛船、Space Oddity ，便可為這堆符號 {(w, x, y, z) ∈ ℝ⁴: w² + x² + y² + z² = 1} 解碼，讓一般讀者也可理解 S3 的面貌。

第二，好奇的讀者會問，既然有 S¹、S²、S³，那有 S⁴、S⁵、S⁶ 等等嗎？有。用數學符號定義它們，將不費吹灰之力。但若要求大眾化的解釋，我也無能為力了。

第三，我要作一個坦白。熟知幾何學的讀者應已發現，我有時濫用「幾何」一詞，並將幾何學和拓撲學的概念混為一談。例如以上我其實將 S³ 定義成黎曼流形，而非光滑流形了，算是偷換概念。但經我反覆衡量，實在認為這些偏差無傷大雅，反能方便表達文意。對此，請見諒。

仍未落伍，苦苦堅持的你，想必已身心疲累吧。對此我感謝兼佩服。但其實你讀得累，我寫得更累 。這 3.4 部分是我苦煞思量，反覆刪改，多個夜晚在卧床入眠前構思而成。閒聊幾句，寫這篇《數學的浪漫》，我是有時間，或有靈感，或想通了，才動筆寫，斷斷續續。這慵懶寫法的壞處是效率不彰，但好處是慢功出細貨。尤其本文難寫之處在表達和選材。有時想到甚麼，但下筆卻寫不通。有時寫了幾段，丟淡幾天，沉澱一下，又發現更好寫法，反反覆覆。結果說來慚愧，引言寫在九月，寫到這段竟是翌年五月初了，慢得驚人。時值仲春，芝加哥仍是寒冷，窗外灑著微雨，天色一片灰濛，昏睡之意由然而生。加上美國疫情肆虐，居家隔離看似沒完沒了，室內彌漫的鬱悶揮之不去⋯⋯

以上這段廢話旨在讓讀者放鬆一下繃緊的腦袋。你讀得累，我寫得累。不過我覺得是值得的，希望你讀畢本文後會有同感。再堅持一陣，到第 4 部分便輕鬆了。

3.4.3. 三維環面 T³

回顧這些我們已遇見的流形：

ℝ1, ℝ2, ℝ3	D1, D2, D3	S1, S2, S3	T2
無限大，無邊界	有限大，有邊界	有限大，無邊界	有限大，無邊界

重溫，第四列的環面 T² 即是冬甩的表皮。

一看便知，T² 是有限大且無邊界的。以上圖表又導出一問題：怎麼沒有 T³？

T³ 是存在的，正名為三維環面。但如 S³ 般，它不能存在於三維空間內，而必須嵌在四維空間 ℝ⁴ 之內。 3.4.3 部份便要是介紹 T³。

但我面對一個兩難。T³ 無疑是有趣的三維流形，它有助讀者更進一步體會高深幾何的抽象，脫離現實。然而，這部分內容雖不難，卻如 3.4.2 般冗長。我思考良久，終於決定把 3.4.3 的餘下部分放在附錄二。如果你剛才讀 3.4.2 時津津有味，意猶未盡，歡迎立即到附錄二欣賞 T³！否則，順著直接讀 3.5 也無不可。

3.5. 孤高獨立

漫長的數學課終於結束啦！我們可重回正軌，談談第 3 部分所帶出的數學的浪漫。

現在大家具備了 3.2 – 3.4 部分的數學知識，相信會同意：數學知識真是抽象！回顧 3.2 – 3.4 所介紹的：

• 3.2 部分的畢氏定理是描述直角三角形的 pattern。但完美的直角三角形只存在於完美的平面（即 ℝ²）當中。
• 3.3 部分談及質數。數學家熱衷於探索質數的 pattern，而這些 pattern 只存在於抽象的數字世界，在現實世界即使踏遍天涯海角也無法尋獲。
• 3.4 部分介紹光滑流形，並提供不少例子，當中包括三維球面 S³ 和 三維環面 T³。光滑流形之抽象可分為兩層。第一，所有光滑流形，皆只存在於某想像中的完美世界，而非現實世界。舉例，我們可以在紙上畫個工整的圓形 S¹，但這圓形不是百分百光滑的：如以顯微鏡細看定有凸凹。第二，某些流形只存在於高維空間中。在現實中雖沒有完美的球面 S²，但尚有外貌近似的：如籃球表面。但面對如 S³ 或 T³ 等三維流形，在現實卻無模擬品，就連想像其面貌也十分困難：看 3.4.2 和 3.4.3 是多麼冗長！更甚者，ℝ³, S³, T³ 只是三維流形中冰山一角。山外有山，三維流形之豐富其實遠超一維或二維流形，簡直五彩繽紛。但要認識它們，別無他法，只能透過高深抽象的數學語言。這有如金庸小說「飛雪連天射白鹿，笑書神俠倚碧鴛」部部驚天動地，但如讀者不諳中文，則也是枉然。總之，絕大多三維流形皆是一般人無法想像的，只有熟悉數學（至研究院程度）的人才能一睹其風采。

這便是數學孤高獨立之形象。

有時我在課室裡聽課分了心，盯著寫滿符號的黑板，也會忽然一頓：究竟我在學甚麼？我們所研究的，如關於質數、S³、T³ 等的特性或 pattern，並不存在於現實世界。大部分純粹數學，只存在於數學家的腦海中、大學圖書館的書本和學術期刊中、互聯網上如維基百科等網頁中。如果這刻把世上每個數學家的記憶抹去，所有數學文本燒毀，每個記載數學的網頁或電子檔案刪除，那麼我們所研究的 formal pattern 還存在嗎？（有關於此，第 5 部分將詳述）

反觀科學，是研究現實世界的 pattern。所以即使把元素週期表、萬有引力理論、進化論等知識抹去，so what？118 種元素將依然存在，地球將依舊圍繞太陽公轉，物競天擇適者生存將繼續是地球生態系統的無形推手。由此可見，數學雖似科學般嚴謹，卻又不如科學般依賴於現實世界。

總之，數學知識——縱非全部，但至少大部分——都十分抽象，且脫離現實。按道理，這便回應了「remoteness from everyday life」一項。

但事實上，以上對數學那 remoteness from everyday life 之描述，只是一鱗片爪：我們還遠未觸及數學真正的浪漫。

想想，「remoteness from everyday life」僅是中性的描述，「romance」卻是褒義的。抽象和脫離現實的問題，俯拾皆是。例如問，12345 的 99999 次方是多少？這是天文數字，脫離現實。但這問題本身就是刻意堆砌，十分無聊，更與 romance 沾不上邊。故此，以上論述過數學的抽象後，若要顯出其浪漫，則還應解釋：為何這些抽象事物是有意義，值得研究的？

答案是，數學知識往往是渾然天成的。不過這又是另一個長篇故事了。大家都累，先談些輕鬆的。關於數學的研究對象，怎麼 formal，具邏輯性，且渾然天成，在第 5 部分再討論。

第 3 部分小結：數學的研究對象，是抽象且具邏輯的 pattern。第 3 部分展示了「抽象，脫離現實」一環。

（第 4、5 部分和丙部：待續⋯⋯）

附錄一：定理 (2) 的證明

重溫一次：

定理 (2) 任何一個單數，乘以另一個單數，結果一定是單數。

以下我將證明定理 (2)。這個證明除有底線部分外，皆只是常識程度的數學，配合簡單邏輯論證。所以我鼓勵讀者硬著頭皮嘗試理解。

還記得，單數，就是不能被 2 除盡的整數。但為往後的方便，我將介紹以下看似隱晦，實則意思完全一樣的定義：

定義 (3’) 假設有一個整數，稱之為 a。那麼 a 是一個單數的意思是：存在某個整數 b 使得

a = 2b + 1

留意，我們通常省略代數算式中的乘號，所以 2b+1 即是 2×b+1。

例如，由於 7 = 2×3 + 1，而 3 又是整數，所以 7 是單數。又由於 10 = 2×5，所以 10 不是單數。

定理 (2) 的證明：

假設 a 是一個單數，b 是另一個單數，我們的目標是證明 ab 也是單數。根據定義 (3’)，存在某個整數 c 使得
a = 2c + 1
也存在某整數d使得
b = 2d + 1
因此
ab = (2c + 1)(2d + 1)
= (2c + 1)(2d) + (2c + 1)
= (2c)(2d) + 2d + 2c + 1
= 4cd + 2d + 2c + 1
= 2(2cd + d + c) + 1
留意這有底線部分，我們用了定理(11)「乘法分配性質」。很明顯，由於c和d都是整數，所以2cd + d + c是個整數。由此可見，存在某整數e使得
ab = 2e + 1
準確來說，e 就是 2cd + d + c。因此 ab 符合先前定義 (3’) 對單數的定義，所以它是一個單數。

證明完畢。

附錄二：繼續 3.4.3 部分

這部分的目標是定義三維環面 T³。

定義 (17’) 三維環面 T3

三維環面，記為 T3，是 {(eix, eiy, eiz): x, y, z ∈ ℝ}。

哈哈不明白吧？所以我們要另覓方法去構想 T³。請慢慢讀這故事吧。

上世紀末，Nokia 手機風靡全球，當中以 3310 型號尤其著名。它除以耐用見稱，可抵受核彈爆炸，更內置一款經典遊戲：貪食蛇。 這遊戲的目標，是用上下左右鍵控制著蛇，吞食獵物。

從影片可見，這遊戲的場地有一重要特徵：蛇不會撞上邊界。例如當蛇直衝向左邊牆時，只會徑直穿過，並從右邊鑽回來。如果是衝向上面牆，則會從下面鑽上來。

仔細想想，這不是很奇怪嗎？明明這遊戲場地的上下兩邊應是連接的，而左右兩邊亦如此，但礙於熒幕顯示效果，卻要硬生生地將之切割開。我們不如撥亂反正，嘗試將上下兩邊黏起來，又將左右兩邊黏起來，看看結果如何？

為此，我容許將遊戲場地的形狀隨意扭曲，拉扯，不必維持那方正形狀，甚麼長度闊度面積也不需保持。只要過程中沒造成撕裂，那便可以。

為更清楚表達，我將遊戲場地畫了下來。而場邊的顏色是用以提醒我們邊界要如何黏貼起來。

好，第一步，是將綠色兩邊連接。既可隨便扭曲，這並非難事：

第一步完成！第二步，將紅色邊連接：

大功告成！咦，這形狀感覺似曾相識？眼利的讀者會發現，它根本是環面 T²！ Nokia 3310 這貪食蛇遊戲中，原來暗藏一個 T²！

好， 準備功夫完成，開始構想三維環面 T³。記得我們假定 T³ 是 T² 的「三維版本」，故此以下策略是：模仿上述製作 T² 的步驟，只不過要將其全部「三維化」。

回想剛才製作 T² 的起步點，是一個正方形的遊戲場地。輕輕類比一下，可知製作 T³ 的起步點應是三維版本的正方形。你不妨憑感覺，以常識推敲，這是甚麼形狀？給個提示：這不是個光滑流形，正如起角的正方形不是個光滑流形。

答案：立方體。換言之，「遊戲場地」變成「遊戲空間」，貪食蛇可在內左右、前後、上下活動。剛才正方形有四邊，現在立方體卻有六面邊界。又類推一下，可知當蛇穿過右邊牆，便會從左邊牆返回立方體內。若穿過下面地板，則會從天花落回來。若穿過正面牆，則從背面牆回來。

既知道立方體是起點，下一步便要適當地黏貼其邊界。剛才我們將正方形左右兩邊連接，上下兩邊連接。類推一下，便知現在有三步要做：先將立方體的左右兩面連接，再將上下兩面連接，最後將前後兩面連接。

第一步：連接左右，即紅色兩面。還記得，我們容許將立方體隨意扭曲，只要不撕裂便可。故此，第一步可如此達成：

第二步：連接上下綠色兩面。只要將深藍色圓柱面內壁拉出來，向外反，還是勉強能將綠色兩面貼合起來。

最後第三步：連接藍色兩面。如果你看懂以上的連環圖，便應發現那藍色兩面由本來的一對正方形，變成一對環面 T²。深色的 T² 在外面，淺色的在裡面。而原本的立方體，則變成夾在兩個 T² 之間那部分。如此，深藍和淺藍兩面被完全分隔了，看來不可能將兩者貼合！

的確，現實中這並不可能。其實這現象並不難理解。還記得剛才製作 T² 時，雖然遊戲場地本是個平面形狀（正方形），但在變形過程中，卻必須容許它脫離平面世界，一躍進入現實三維世界，才能完成製作 T²。類推一下，可知若要製作 T³，同樣必須提升一維：即是要把這個遊戲空間由現實三維空間搬到四維空間，才能完成第三步。換句話，在現實世界根本不可能製造 T³！但大家也不意外吧，因為剛才 S³ 同是如此。

總結，有以下定義：

定義 (17) 三維環面

透過將一個立方體的左右兩面連接，上下兩面連接，前後兩面連接，最後所得那三維流形便是三維環面，記為 T3。

終於，我們成功構造了 T³。總結我們目前所見過的三維流形：

留意第七個是剛才第二步的製成品。不過正如前述，三維流形遠不止於此，還有 ℝP³、Σ₂×S¹ 等等，五花八門。

附錄三：答案

無限大卻有邊界的一維流形，只向右無限伸延的直線：

附錄四：參考資料

火星圖片：European Space Agency & Max-Planck Institute for Solar System Research for OSIRIS Team ESA/MPS/UPD/LAM/IAA/RSSD/INTA/UPM/DASP/IDA, http://www.esa.int/spaceinimages/Images/2007/02/True-colour_image_of_Mars_seen_by_OSIRIS

大峽谷圖片：Murray Foubister, https://www.flickr.com/photos/mfoubister/8645178272/, CC BY-SA 2.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=51850121

流形圖片:

球面：Geek 3, https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Sphere_wireframe_10deg_6r.svg#mw-jump-to-license

環面：YassineMrabet, https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Simple_Torus.svg

雙環面：H. Karcher, http://stanwagon.com/wagon/mathimages/htmllinks/mathimages_1.html

三環面：Eric W. Weisstein, https://mathworld.wolfram.com/TripleTorus.html

實心球體：Gutten på Hemsen, https://en.m.wikipedia.org/wiki/File:Black_pog.svg

實心環面、實心雙環面：Oleg Alexandrov, https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Torus_illustration.png#mw-jump-to-license

三維空間：Jeff Weeks, https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:3-Manifold_3-Torus.png

作者網誌

（作者簡介：芝加哥大學數學博士生）