2022 年諾貝爾物理學獎：量子糾纏是甚麼？

【文／黎偉健 Lai Wai-kin】

簡介：匹兹堡大學物理學博士，從事粒子物理理論研究，現為加州大學洛杉磯分校訪問研究員。

2022年度諾貝爾物理學頒給三位物理學家克勞澤 (J. F. Clauser) 、阿斯佩 (A. Aspect) 和蔡林格 (A. Zeilinger) ，以表揚他們對量子糾纏態的突破性實驗研究。他們的工作揭示了量子世界最神秘的一面，並為近年興起的量子訊息科學奠定了實驗基礎。量子訊息科學是一門把量子力學原理運用到科技上的科學，其中如量子計算及量子通訊等很可能徹底革新未來科技，改變未來人類的生活模式。要了解這三位得獎者的工作，我們先要了解量子糾纏以及有關的歷史背景。

量子力學

量子力學是現代物理學的基石，它準確地描述了微觀世界的物理現象。量子力學在概念上有兩方面徹底顛覆了經典物理學：一是物理量測量值的隨機性，二是物理量之間的不相容性。

在經典物理學裏，如牛頓力學和電磁學等，物理現象嚴格遵從決定論，即原則上我們可對任何物理量在給定時間的測量值作準確預言，如粒子的位置和速度等。可是，經典物理學只適用於宏觀的物理現象。在描述微觀世界的量子力學裏，一般來說我們不能確切預言物理量在某實驗中的測量值，而只能計算出物理量測量值出現的概率。例如，考慮放射性原素的衰變。我們不能對個別原子何時衰變作準確預測，但我們可以準確地說該粒子在半衰期內衰變的概率為 1/2 。這種對概率的預言只能以統計方法透過大量重覆實驗來驗證。例如，我們可以考慮一億顆放射性原子，那麼過了半衰期後我們會發現當中約五千萬顆原子已衰變。

既然物理量的測量值遵從某概率分佈，即具有不確定性，那麼我們很自然會問，這不確定度有下限的嗎？考慮一顆粒子，我們在時間  t=t₀ 量度它的位置 x，獲得值為 x=x₀。那麽，如果我們立刻再量度它的位置，我們依然會獲得 x=x₀ 。也就是說，在我們量度粒子位置的一刻，粒子的位置被確定下來，粒子在瞬時擁有確定位置。因此，我們說量度物理量的一刻粒子的量子態進行了塌縮，變成了一個具有確定的該物理量測量值的態。所以，單個物理量的不確定度是沒有下限的，即可以是確定的。可是，我們可以設想，在量度粒子的位置後我們立刻量度它的動量（即量度速度），那麽我們會發現，動量的測量值並不確定，而是一個概率分佈。所以，我們說粒子的位置和動量是不相容的物理量，它們不能同時具有確定的值。類似地，如果我們先量度粒子的動量 p，獲得 p=p₀ ，那麽如果我們立刻再量度它的動量，我們依然會獲得 p=p₀ ，因為量度動量的一刻粒子的態進行了塌縮，動量被確定了下來。如果我們立刻量度它的位置，那麽我們會得到一個概率分佈。因此，如果我們先量度粒子的位置 x，獲到得 x=x₀ ，然後立刻量度它的動量，然後再立刻量度它的位置，我們會獲得 x 不等於 x₀ ！所以，在量子力學裏，對系統的觀察能改變它的態，從而改變物理量被量度時的取值。這導致一個很有趣的問題，對於任何系統，它的物理量在被測量之前存在嗎？或者更進一步，物體在沒被觀測時存在嗎？

EPR 悖論

愛恩斯坦 (A. Einstein) 在生時一直對量子力學抱有則疑。他對以上所述關於量子力學的兩點都有意見。他曾說「上帝不擲骰子」，則疑量子力學裏的隨機性；他又問道：「你相信月亮只有當你看見時才存在嗎？」，認為客觀世界的存在獨立於其被觀察與否。第一個則疑是基於決定論，第二個則疑是基於實在論。比起對決定論的挑戰，愛恩斯坦似乎更不滿量子力學對實在論的否定。針對這點，愛恩斯坦與波多爾斯基 (B. Podolsky) 和羅森 (N. Rosen) （簡稱 EPR）在 1935 年發表了一篇論文，裏面提出了一個思想實驗，論證了量子力學並不完備 (complete) ，即量力子學不能描述某些客觀實在。

在 EPR 論文裏作者首先定義了客觀實在 (physical reality) 的充份條件：如果系統在沒被干預的情況下，我們能準確預言物理量的測量值（即該物理量為預言值的概率為 1），那麼該物理量對應一客觀實在。他們接着提出以下的思想實驗：考慮兩顆粒子 A 和 B，它們在時間 t=t₀ 之前有交互作用，而在 t=t₀ 之後沒有交互作用。由於兩顆粒子在 t=t0 前有交互作用，它們的物理量有統計相關性。假設在 t=t₁>t₀ 時，系統的態具有以下特性：當 A 的位置被量度時，A 的位置被確定了，而由於相關性，我們可從 A 的位置準確推斷出 B 的位；當 A 的動量被量度時，A 的動量被確定了，而由於相關性，我們可從 A 的動量準確推斷出 B 的動量。注意，由於在觀察 A 時，A 和 B 之間已經没有交互作用，B 並沒有被干預。因此 B 的位置和動量能在 B 没有被干預下被準確預測，因而都對應客觀實在。可是，正如以上所提及過，在量子力學裏，粒子 B 的位置和動量並不相容，不可能同時被準確預測。由此推斷，量子力學不能描述某些客觀實在，如以上思想實驗裏 B 粒子於時間 t=t₀ 後的位置和動量所對應的客觀實在。換句話說，即世界上存在一些原則上能被預言的事，而量子力學不能對它給出預言。以上論證稱為EPR 悖論。

EPR 悖論指出量子力學並不完備，因此量子力學不可能是物理學的最基本理論。當時物理學界對 EPR 悖論有很多不同看法，有人同意，有人反對，也有人漠不關心，認為這只是哲學討論，無法從實驗上驗證。

貝爾不等式

EPR 悖論的一個重要假設是，對於一個與外界沒有交互作用的系統，無論外界發生什麽（包括外界被量度），都不可能影響該系統。這個聽上去最自然不過的假設，我們稱為局域實在論 (local realism) 。愛恩斯坦在EPR 悖論中對量子力學的攻擊正是局域實在論的違反：對 A 粒子的量度不可能影響 B 粒子的任何屬性。如果 AB 兩粒子距離極遠，那麽這影響便是超光速的迅息傳播。愛恩斯坦稱這為「鬼魅般的超距作用 (spooky action at a distance) 」。

可是，貝爾 (J. S. Bell) 於 1964 年從理論上證明，僅僅從局域實在論出發，可推導出與量子力學預言不符的實驗結果。類似 EPR，他考慮兩顆粒子 A 和 B，它們在交互作用後互相遠離，在一段長時間後它們之間的交互作用可以被忽略。假設粒子是電子，具有自旋。A 和 B 粒子的旁邊都有一觀察者，他們可以任意選擇方向軸 n_A 和 n_B 來測量粒子 A 和 B 的自旋沿該軸的分量，其測量值分別記為 S_A 和 S_B ，其值可以是 1（上旋）或-1（下旋）。SA和 SB的值一般來說各自依賴於  n_A 和 n_B ，但基於局域實在論， S_A 不可依賴於 n_B ， S_B 也不可依賴於 n_A。當然 S_A 和 S_B 會依賴於整個系統的態，我們可把這個態記為 λ。我們把 λ 視作一個隱變量 (hidden variable) ，它是一組經典變量，不是量子態，不會進行量子態塌縮，它有自己的演化規律，甚至可以不遵循決定論，但必須符合相對論的因果結構，具有局域性 ^[1] 。所以，我們可以把 S_A 和 S_B 對變量的依賴寫成 S_A=S_A(n_A,λ), S_B=S_B(n_B,λ)。

我們可假設因為之前的交互作用，兩顆電子的自旋是相關的：當 n_A=n_B 時，即當兩個被選擇的方向軸方向相同時， S_A 和 S_B 呈完全反相關，即要麽 S_A = 1 並且 S_B = -1，要麽 S_A = -1 並且 S_B = 1 ^[2] （圖一）。我們可把這相關性寫成 S_A(n,λ) = -S_B(n,λ)。

給定兩個方向軸的選擇 n1和 n2，我們考慮剩積 S_AS_B 對 λ 的統計平均值，記為 E(n₁,n₂)。透過一些運算，貝爾證明了以下不等式：

 |E(n₁,n₂)-E(n₁,n₃)| ≤ 1+E(n₂,n₃)

以上不等式稱為貝爾不等式 (Bell’s inequality) 。它是局域實在論的必然結果。

根據量子力學，我們可計算出 E(n_A,n_B) = -cosθ_AB，其中 θ 為 n_A 與 n_B 之間的夾角。我們可選取如圖二的三條軸 n₁,n₂,n₃ 。

那麽

 E(n₁,n₂) = 0, E(n₁,n₃) = E(n₂,n₃) = -0.707

從而得出貝爾不等式不成立：

 0.707 > 1-0.707

也就是說，量子力學不遵從局域實在論，與局域隱變量理論不相容，粒子 B 的自旋分量在粒子 A 的自旋分量被量度前是不存在的，世上的確有「鬼魅般的超距作用」，月球的確在沒被看見時並不存在！

我們很自然會問，這種「鬼魅般的超距作用」難道不會導致超光速訊息傳播，違反相對論嗎？有趣的是，答案是不會。假設 n_A 和 n_B 方向相同，那麽的而且確，當 S_A 測量值為 1 時，我們可推斷 S_B 的測量值必為 -1，但我們並不能憑個人意願使得 S_A的值成為1。理由是對於粒子 A 的觀察者，他會發現 S_A 是完全隨機的： 1/2 概率為 1 ， 1/2 概率為 -1 。他無法確保 S_A 是心裏預定的某個值，因此也無法控制 S_B。同理，對於粒子B的觀察者，他也會發現 S_B 是完全隨機的，因此他無法從量度 S_B 得知 S_A 有否被量度過。可是，當 A 的觀察者和B的觀察者事後相遇時，他們會發現 S_A 和 S_B 是完全反相關的。所以，「鬼魅般的超距作用」並不是任何物質或訊息的超光速傳播，對粒子 A 的量度並沒有改變對 B 粒子的量度結果。我們只能說，對粒子 A 的量度使 A 的觀察者獲得了關於粒子 B 的資訊。當然，這種兩事物間的統計相關性在經典物理學裏也可出現，正如當你看見一隻左手手套時能推斷另一隻手套必然是右手的，反之亦然。但貝爾不等式的違反告訴我們，在量子力學裏，手套是左還是右不可能在被觀察前已被確定，這可說是量子力學最引人入勝之處。

糾纏態 

EPR 悖論和貝爾不等式論文中所用到的思想實驗都涉及到一類特別的量子態，它使得兩個系統的物理量之間有統計關聯，並且各自系統的這些物理量被量度時呈一随機分佈。我們稱這種量子態為糾纏態 (entangled state) ^[3] 。顧名思義，糾纏態把系統 A 和系統 B 糾纏在一起。這種態具有非局域性，即我們不能說系统 A 或系統 B 各自處於某量子態。糾纏態的存在使量子力學違反局域實在論。

貝爾不等式的實驗驗證

如果說 EPR 悖論是哲學，那麼貝爾不等式就是物理學。下一步當然是用實驗驗證貝爾不等式成立與否。可是，貝爾不等式的原文所提出的思想實驗在實際操作上有困難。 1969 年，當時是哥倫比亞大學研究生的克勞澤 (J. F. Clauser) 與三名合作者提出了貝爾不等式的一個較一般的形式（CHSH 不等式），並提出驗證該不等式的實驗設置。 1972 年，當時在加州柏克萊大學的克勞澤與一名研究生 S. J. Freedman 進行了有關實驗。他們使用從被激發的鈣原子的電磁衰變而獲得的兩顆光子的糾纏態，透過觀察光子通過偏振過濾器與否，從而嘗試驗證貝爾不等式。在這實驗裏，光子的偏振好比貝爾論文中的電子自旋向量，偏振過濾器的偏振方向好比量度自旋分量的軸 n_A 和 n_B ，而光子通過過濾器與否就好比電子自旋為上旋還是下旋。他們得到的實驗結果與量子力學預言完全吻合，即違反貝爾不等式。這是首次在實驗上證實貝爾不等式的違反，證明了糾纏態的存在以及量子力學的非局域性。

在克勞澤的實驗裏，過濾器的偏振方向是在光子產生前被設定好的。這是一個漏洞，因為這樣不能排除 S_A 與 n_B 有因果關聯，因而 S_A 可依賴而 n_B ，這違反貝爾不等式的基本假設。1982 年，在巴黎薩克電大學的阿斯佩 (A. Aspect) 與合作者改良了克勞澤的實驗，他們運用水中的聲波操縱偏振過濾器的偏振方向，使其不斷急速改變，這確保了 n_A 和 n_B 是在光子對產生後飛向過濾器的過程中才被定下來，保證了 S_A 與 n_B 沒有因果關係。阿斯佩的實驗結果與量子力學預言一致，即貝爾不等式再次被證實被違反。

在阿斯佩的實驗裏，由於操控偏振過濾器的聲波並非隨機，具有一定規律，這使给定時刻的 n_B 與之前的 n_B 有關聯。由於給定時刻 t=t₀ 的 S_A 是可透過λ依賴於過去很久之前的 n_B ， t=t₀ 的 S_A 有可能間接依賴與 t=t₀ 的 n_B ，這違反了貝爾不等式的基本假設。為消除這漏洞，當時在因斯布鲁克大學的蔡林格與合作者於 1998 年改良了阿斯佩的實驗，他使用隨機的方法設定 n_A 和 n_B ，並使兩個偏振過濾器相隔 400 米，實驗結果一再與量子力學預言吻合。

我們可能會問，這種驗證貝爾不等式的實驗真的可以做到沒漏洞嗎？無論 n_A 和 n_B 的設定有多隨機，他們都有可能是很久以前某一事件在因果律下的結果。也就是說， n_A 和 n_B 原則上總有可能有統計關聯，而貝爾不等式的推導假設了 n_A 和 n_B 是可被獨立選取的，即 n_A 和 n_B 沒有統計關聯。事實上，實驗能做到的，是盡可能把這種可能導致 n_A 和 n_B 之間統計關聯的源頭所發生的時間往前推。 2017 年，當時在維也納大學的蔡林格與其合作者再次改良了之前的實驗，這次他使用來自銀河系中兩顆星的星光光子的顏色來分別決定 n_A 和 n_B 的方向。這些星光光子的顏色（即對應頻率）具有隨機性，並且由於兩顆星相隔數百光年，如果 n_A 和 n_B 真的有統計關聯，那麽這關聯的源頭只能發生在 600 年或以上的過去！再一次，實驗結果與量子力學預言吻合。

量子訊息科學

量子糾纏態的研究不僅僅揭示了量子力學最「鬼魅」的一面，它很有可能在未來能應用到科技上。近年興起的量子訊息科學 (quantum information science) ，當中包括量子通訊 (quantum communication) 和量子計算 (quantum computing) ，便是量子糾纏態的應用。量子通訊的一個例子是量子隱形傳輸 (quantum teleportation) 。考慮兩個人，阿一和阿二之間的通訊，阿一手持粒子 A ，阿二手持粒子 B 。假設粒子 A 和 B 處於如貝爾思想實驗中的糾纏態。阿一手上有另一顆粒子 C ，它以量子態的方式儲存着某訊息。阿一有一個巧妙的方法把這資訊傳到阿二。他可對粒子 A 和 C 作量度，使量子態塌縮，那麽由於 A 和 B 的糾纏，阿二的粒子 B 會塌縮成某個特定的態。阿二只須要對這個態作某特定操作（可稱作匙）便可使粒子 B 的態與 C 的初態相等，從而獲得訊息。這個匙是阿一依據他對 A 和 C 的量度結果定出來的，可以用傳統方法傳給阿二。有趣的是，這個訊息傳遞方法是絕對安全的，這是因為第三者無法使他手中的粒子以與 B 一樣的形式和 A 糾纏而不影響 A 和 B 的糾纏態。這是因為，在量子力學裏，訊息不能被複製，只能被傳遞，即所謂的不可克隆定理 (no-cloning theorem) 。任何竊聽的嘗試都會使原來的訊息被扭曲，從而被發現。蔡林格與其合作者於 1997 年利用光子糾纏態從實驗上證實了量子隱形傳輸的可行性。

另一種對糾纏態的操作是的糾纏交換 (entanglement swapping) 。考慮四顆粒子 A,B,C,D 。假設 A 和 B 透過交互作用成為糾纏態， C 和 D 也透過交互作用成為糾纏態。那麽，透過某種對 B 和 C 的量度，我們可使A和D糾纏起來。這裏有趣的是， A 和 D 從没發生過交互作用，然而卻最終糾纏起來。糾纏交換常用在量子通訊和量子計算的網絡中，具有重要意義。在 1998 年，蔡林格與其合作者從實驗上示範了糾纏交換，為量子訊息科學奠下重要基礎。

最引人注目的可算是量子計算。傳統電腦以 0 和 1 為訊息位元；量子電腦的位元是一個如電子自旋的量子態，上旋為 1 ，下旋為 0 ，而位元是 1 和 0 的叠加態。從幾何上了解，傳統位元是兩點，而量子位元是一個球面，因此量子位元所含的訊息比傳統位元要多。量子電腦厲害之處是它可快速計算一些傳統電腦幾乎不可能解決的問題，如大整數的質因數分解。量子計算之所以如此厲害，正是基於糾纏態的特殊屬性。現時量子電腦的研究在迅速發展，例如 IBM 已能造出 127 量子位元的量子電腦。如果有一天我們能發展出含百萬計量子位元的量子電腦，並廣泛便用它，我們的生活模式很可能被徹底改變。

註：

1. 所謂相對論的因果結構，即任何資訊或物質的傳播速度不能超過光速。也就是說， λ 在某時空點的值只依賴於 λ 在該時空點的過去光維裏的值。 λ 可以遵從決定論，也可以只遵從某概率分佈，但必須符合相對論的因果結構。
2. 原則上這種雙電子自旋態是可能存在的，只要兩粒子的總自旋為零。但要在實驗中獲得它並不容易。
3. 這是一種粗略的定義。糾纏態嚴格定義為不能寫成子系統的態的張量積的態。